Многие думают, что математика — это изобретение человека.
Математика подобна языку: она может описывать реальные вещи в мире, но она не «существует» вне умов людей, которые ее используют. Но пифагорейская школа мысли в Древней Греции придерживалась иного взгляда. Его сторонники считали, что реальность в основе своей математична. Спустя более 2 000 лет философы и физики начинают серьезно относиться к этой идее.
Сэм Барон, доцент Австралийского католического университета, в новой статье утверждает, что математика — это важный компонент природы, который структурирует физический мир.
Об этом сообщает sciencealert.com.
Медоносные пчелы и шестиугольники
Пчелы в ульях производят гексагональные соты. Почему?
Согласно математической гипотезе о сотах, шестиугольники — самая эффективная форма для мозаики плоскости. Если вы хотите полностью покрыть поверхность плиткой одинаковой формы и размера, сохраняя при этом минимальную общую длину периметра, используйте шестиугольники.
Чарльз Дарвин рассуждал, что пчелы эволюционировали, чтобы использовать эту форму, потому что они производят самые большие клетки для хранения меда и наименьшего количества энергии для производства воска.
Гипотеза о сотах была впервые предложена в древние времена, но была доказана только в 1999 году математиком Томасом Хейлзом.
Цикады и простые числа
Вот еще один пример. Есть два подвида североамериканских периодических цикад, которые большую часть жизни живут в земле. Затем каждые 13 или 17 лет (в зависимости от подвида) цикады появляются большими стаями в течение примерно двух недель.
Почему 13 и 17 лет? Почему не 12 и 14? Или 16 и 18? Одно из объяснений апеллирует к тому факту, что 13 и 17 — простые числа.
Представьте, что у цикад есть ряд хищников, которые также проводят большую часть своей жизни в земле. Цикадам нужно вылезать из земли, когда их хищники спят. Предположим, есть хищники с жизненным циклом 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 лет. Как лучше всего их всех избежать?
Нужно сравнить 13-летний жизненный цикл и 12-летний жизненный цикл. Когда цикада с 12-летним жизненным циклом выходит из-под земли, 2-летние, 3-летние и 4-летние хищники также вылетают из-под земли, потому что 2, 3 и 4 все делятся на 12 поровну. Когда цикада с 13-летним жизненным циклом выходит из-под земли, ни один из ее хищников не выйдет из-под земли, потому что ни один из 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9 не делится равномерно на 13. То же верно и для 17.
Похоже, эти цикады эволюционировали, чтобы использовать основные факты о числах.
Создание или открытие?
Как только мы начнем искать, легко найти другие примеры. От формы мыльных пленок до конструкции шестерен в двигателях, расположения и размера зазоров в кольцах Сатурна — математика повсюду.
Если математика объясняет так много всего, что мы видим вокруг, то маловероятно, что математика — это то, что мы создали. Альтернативой является открытие математических фактов: не только людьми, но и насекомыми, мыльными пузырями, двигателями внутреннего сгорания и планетами.
Что думал Платон?
Но если мы что-то открываем, что это такое? У древнегреческого философа Платона был ответ. Он думал, что математика описывает реально существующие объекты.
Для Платона эти объекты включали числа и геометрические фигуры. Сегодня мы можем добавить в список более сложные математические объекты, такие как группы, категории, функции, поля и кольца. Платон также утверждал, что математические объекты существуют вне пространства и времени. Но такой взгляд только усугубляет загадку того, как математика что-либо объясняет.
Объяснение включает в себя демонстрацию того, как одно в мире зависит от другого. Если математические объекты существуют в царстве, отличном от мира, в котором мы живем, они, похоже, не могут иметь отношения к чему-либо физическому.
Древние пифагорейцы соглашались с Платоном в том, что математика описывает мир объектов. Но, в отличие от Платона, они не думали, что математические объекты существуют за пределами пространства и времени. Вместо этого они считали, что физическая реальность состоит из математических объектов так же, как материя состоит из атомов.
Если реальность состоит из математических объектов, то легко увидеть, как математика может сыграть роль в объяснении мира вокруг нас.
За последнее десятилетие два физика выступили в защиту пифагорейской позиции: шведско-американский космолог Макс Тегмарк и австралийский физик-философ Джейн Макдоннелл.
Тегмарк утверждает, что реальность — это всего лишь один большой математический объект. Если это кажется странным, подумайте о том, что реальность — это симуляция. Моделирование — это компьютерная программа, которая представляет собой своего рода математический объект.
Взгляды Макдоннелла более радикальны. Она считает, что реальность состоит из математических объектов и умов. Математика — это то, как Вселенная, которая осознает себя, познает себя.
По словам Барона, мир состоит из двух частей: математики и материи. Математика придает материи ее форму, а материя придает математике ее сущность. Математические объекты обеспечивают структурную основу для физического мира.
Будущее математики
Барон считает, что пифагореизм заново открывается в физике: «В прошлом веке физика становилась все более и более математической, обращаясь к, казалось бы, абстрактным областям исследований, таким как теория групп и дифференциальная геометрия, в попытке объяснить физический мир. Поскольку граница между физикой и математикой стирается, становится все труднее сказать, какие части мира являются физическими, а какие — математическими».
Однако он удивлен, что философы так долго пренебрегали пифагореизмом.
«Я считаю, что это скоро изменится. Пришло время пифагорейской революции, которая обещает радикально изменить наше понимание реальности», — отметил он.
Suomen Kuvalehti (Финляндия): в математике есть очень интересные и классные темы!
Понимание математики — вопрос прав человека, считает финский ученый
Новая система оценок в финских университетах сделала математику главным предметом при поступлении. Многие считают, что это нелепо, но финский ученый на конкретных примерах доказывает, что понимание математики — отличный показатель способности человека к обучению в университете.
Оценка по математике будет иметь больший вес при поступлении в финские университеты — и не только на естественно-научные специальности.
Нововведение вызвало критику: это же нелепо, что при поступлении, к примеру, в лингвистический университет, математика будет приносить больше баллов, чем иностранный язык!
Финский профессор математики Самули Силтанен (Samuli Siltanen) прокомментировал ситуацию в Твиттере:
«Оценка по математике — замечательный показатель того, как студент будет справляться с учебой и современной рабочей обстановкой. Сложные предметы требуют усердной работы, и это стоит понять уже в лицее. Математическое мышление пригодится в любой сфере».
Этот твит набрал сотни лайков — как и гневных сообщений: опять нам навязывают математику! Способность к обучению вполне можно измерять успехами в истории или философии.
Самули Силтанен вовсе не хотел принизить значимость других дисциплин. Он искренне считает, что математика — отличный показатель способности человека к обучению в университете.
В позиции профессора, прославляющего математику, нет ничего удивительного. На занятиях в учебных заведениях и в своих ютьюб-видео он рассказывает, что математика связана со всем на свете, и советует молодежи изучать высшую математику. Он написал научно-популярную книгу о математике «Войди в мир математики» (Astu matematiikan maailmaan, 2019).
Самули Ситланен по-особенному относился к математике уже в детстве. Он увлекся предметом в начальной школе: тогда у него получалось высчитывать квадратные корни на листе в клетку с большей точностью, чем выходило на калькуляторе отца. Он был в полном восторге от степеней и логарифмов —за несколько лет до того, как их начали разбирать на уроке.
Преподаватели финских лицеев высказали обеспокоенность тем, что теперь многие учащиеся будут выбирать высшую математику в погоне за баллами, но не будут интересоваться ею искренне. На работу с такими учениками будет уходить много преподавательского времени. (Лицеи и профессиональные училища — последняя ступень среднего образования в Финляндии, аналог старшей школы — прим. перев.)
«Эти опасения вполне обоснованы», — говорит Силтанен.
Он считает математику предметом, требующим организованности и сосредоточенности, потому что в ней все новые темы строятся на базе предыдущих. Если отстанешь на дробях, то потом будут проблемы с производными.
«Я могу это себе представить: если когда-то что-то упустил в математике, то уроки становятся пыткой».
И все же он рад росту популярности математики. Хотя многие считают, что высшая математика — это только для избранных.
«С математикой связаны мифы о гениальности. Ужасно грустно, когда человек считает себя или своего ребенка не способным к математике. Способными к математике не рождаются».
Подачу математики в финских лицеях, по мнению Самули Силтанена, нужно немного изменить. Чуть меньше производных, больше примеров из практики. Больше матриц, которые могут пригодиться, к примеру, в расчетах прочности моста и проектировании освещения в компьютерных играх.
«Такие примеры могли бы заинтересовать большее количество людей».
х х х
Полки от пола до потолка заставлены книгами. В кабинете Силтонена в Хельсинкском университете все книги — о математике.
Многие считают, что математика — то же, что и счет: с математикой мы знакомимся в школьном учебнике и потом вспоминаем эти знания, когда считаем.
Однако математика постоянно развивается.
«Математика — это очень практичная, живая наука», — говорит Самули Силтанен.
Если в античной Греции велись диспуты о том, как вычислить диагональ квадрата, то сейчас математики ищут формулы для определения формы Вселенной.
Силтанена долгое время привлекал теоретический мир математики.
В своей книге Самули Силтанен иронично пишет, что теоретическая работа принесла миру «массу информации, в которой большие кристальные горы и небесные шестеренки складываются так же гармонично, как кусочки обычной мозаики».
«На определенном этапе мир математики начал казаться мне избыточно идеальным».
В итоге Самули Силтанен начал работать с медициной. Например, математика особенно нужна, когда из 2D-рентген-изображений хотят сделать 3D-cнимок.
Самая важная тема в исследованиях Силтанена — электротомография головного мозга. Его исследовательская группа изучает способы, при помощи которых уже в машине скорой помощи можно было бы выяснить, что случилось с пациентом: церебральный венозный тромбоз или внутричерепное кровоизлияние. Симптомы у этих проблем одинаковы, а лечение — разное. Быстрый результат дал бы пациенту возможность выиграть дополнительное время.
Принцип электротомографии основывается на разной проводимости тканями электрических импульсов. При помощи безвредных низких разрядов через кожу можно сформировать картину того, в каком состоянии находится наш мозг.
Однако получить и обработать результаты такой процедуры — математическая задача не из легких.
«Очень необычные расчеты!»
х х х
В ютьюб-видео Самули Силтанен в панаме и солнечных очках пытается прихлопнуть как можно больше комаров. От разговора об очень большом количестве комаров он подводит зрителей к математическим формулам.
Силтанен делает видео для своего научного ютьюб-канала Samu вот уже два года. У него и сейчас есть около двадцати новых идей для «увлекательных современных сюжетов».
Самули Силтанену с детства нравилось не только заниматься расчетами, но и говорить о математике. Он хочет просвещать и вдохновлять.
В 2019 году он получил финскую премию Снелльмана за труды в просвещении и распространении научных данных. (Йохан Снелльман, Johan Snellman — финский философ, писатель, государственный деятель XIX века, прим. перев.)
«В математике есть очень интересные и классные темы, о которых мало кто знает. Когда сам узнаешь что-то ужасно увлекательное, хочется рассказать об этом другим — так же, как музыканту хочется сыграть какие-нибудь произведения».
Сейчас популяризацией науки занимаются многие. На канал Numberphile британца Брейди Харана (Brady Haran) из Австралии уже подписано три миллиона человек, на канал 3blue1brown американца Гранта Сандерсона (Grant Sanderson) — два миллиона. Вилле Айтлахти (Ville Aitlahti), который преподает математику в финском муниципалитете Туусула, придумал новый способ преподавать математику, и молодежь была благодарна ему за эти занятия.
х х х
Математика повсюду. Математические формулы можно найти в движении автомобилей и полете футбольного мяча. Самули Силтанен хочет, чтобы люди их заметили.
Иногда он приходит в школы и начинает говорить с детьми о том, благодаря чему Siri в смартфоне или навигатор могут с нами «говорить». Для воспроизведения компьютерного звука ученые изучали математическую инверсию многие десятилетия.
«Еще несколько лет назад я думал, что популяризация науки — это легко. Но это не так. Объяснение темы в таком формате — так же тяжело, как написание научной статьи».
На запись девятиминутного видео ушло десять часов, на подготовку — больше десяти часов. Больше всего времени уходит на обдумывание, как объяснить тему интересно, легко и не слишком сильно отклоняясь от главного.
Самули Силтанен любит фотографировать пауков. На даче в Ханкасалми он кладет пауков в стаканчики из-под йогурта и делает фотографии в режиме макросъемки. При помощи фотографии он часто рассказывает о математике. Математика есть даже в фильтрах для селфи.
х х х
Да для чего нужна эта ваша математика?
Преподавателям математики вечно задают один и тот же вопрос. Пользователям смартфонов не обязательно знать формулы, которые скрываются за работой программ.
Понимание математики — вопрос прав человека, говорит Силтанен.
«Так человек не отделяется от мира, в котором он живет. При желании он может в чем-то разобраться и изменить будущее».
Понимание и непонимание математики и естественных наук оказывает большое влияние на общество.
Модель соотношения распространения кори и охвата населения прививками тщательно просчитана.
«Некоторые говорят, что прививаться не надо, но, опираясь на естественно-научные и математические базовые знания, можно сказать, что это не так. Быть не привитым — опасно для жизни и безответственно», — считает Самули Силтанен.
Изменение климата прогнозируется по математическим моделям, в которых учитываются происходящие в воздухе химические и физические явления. Люди нередко путают погоду и климат: удивляются, как ученые могут предрекать изменение климата через сто лет, а прогноз погоды на пять дней может оказаться неправильным.
Самули Силтанен качает головой.
«Учитываются результаты лучших исследований за последние 150 лет, все проверено много раз. Невероятно: без изучения происхождения данных и прогнозов люди готовы подвергнуть их сомнениям».
х х х
Согласно Международной программе по оценке успехов учащихся PISA, навыки учащихся в математике слабеют во всем мире. Уровень знаний по математике снизился сильнее, чем навыки чтения.
«Конечно, это о чем-то говорит и вызывает беспокойство. Дети читают меньше книг, чем раньше, и, вероятно, решают меньше задач. Эти действия требуют сосредоточенности», — рассуждает Самули Силтанен.
Решать задачи с ручкой и бумагой тоже очень важно. И хотя все можно посчитать на калькуляторе, счет в уме позволяет понять больше — в том числе и в повседневных вопросах.
«Когда мы организовываем праздник для фирмы из ста человек, и закуски обходятся по 30-50 евро на сотрудника, сразу можно прикинуть, сколько нулей будет в счете».
По мнению Самули Силтанена, у средней школы есть замечательная возможность объединить математику с другими предметами. Например, разницу между средним арифметическим и медианой можно наглядно показать и применить в обработке фотографий на компьютере.
Однако в идее объединения учебных предметов есть и свои риски. В случае неудачи базовые вопросы останутся без внимания.
«Некоторые вещи все же следует постигать просто за счет усидчивости и сосредоточенности».
Ақшолпан НҰРДӘУЛЕТ
